日常生活の中で遭遇する何の変哲もない疑問に端を発し、創意工夫を繰り返すうちに意外な結果に終わり、かつその問題を攻略するアイデアが数学の新分野を切り開く契機になった「掛谷の針の問題」を紹介しましょう。

　「掛谷の針の問題」とは、１９１７年頃、数学者、掛谷宗一先生が提起した「長さ１の線分（針）を平面上で１回転させるのに必要な最小面積の図形は何か、また、その面積はいくらか」というものです。

　矢野健太郎先生の本によると、彼が掛谷先生にどのような契機からこの問題を思いついたのかをうかがったところ、「昔の武士はいつ敵が襲ってくるかもしれないと考えて、厠（かわや、便所）に入るときでも短い槍（やり）を持って入っていた。もし、武士が厠に入っているときに不意に敵が襲ってきたら、彼は狭い厠の中でその槍を振り回さなければならない。この問題はそれから思いついたのさ」という返事だったそうです。

　図１のように、直径１の円の中で、そこから針がはみ出さないように１回転させることができるのは明白です。針の中点Ｏを中心にして、ぐるりと１回転させればよいからです。この円の面積Ｓ１は、

Ｓ１＝０．７８５３９８…

となります。そこで、この面積をいかに減らすかが問題となりますが、最初は図形を凸図形に限定しましょう。ここに凸図形というのは凹みのない図形のことです。すぐに気がつくのは、針の一端Ａを固定して端Ｂを６０度だけ回転し＝図２（ａ）＝、次に端Ｂを固定して端Ａを６０度だけ回転し＝図２（ｂ）＝、さらに最初の一端Ａを固定して端Ｂを６０度だけ回転させる方法です＝図２（ｃ）。

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　これで針は半回転するので、同じ操作をもう一度繰り返せば、針は１回転します。このおにぎり形（ルーロ－の三角形）の面積は、

Ｓ２＝０．７０４７７０…

です。このおにぎり形はかなり効率的ですが、針を回転させることのできる図形の面積をさらに少なくできます。それは、高さ１の正三角形＝図３＝で、この面積Ｓ３は、

Ｓ３＝０．５７７３５０…

となり、おにぎり形より小さくなります。

では、さらに面積を減らすことができるでしょうか。凸図形に限定すると、図３の正三角形が最小であることが藤原松三郎先生によって予想され、１９２１年にパルによって証明されました。こうして、凸図形に限定すれば掛谷の針の問題は完全に解決されました。

　しかし、針が１回転できる図形が凸でなくても良いとしたときはどうなるのでしょうか。この問題が予想外の結論で終止符が打たれるまでには、さらに６、７年の紆余屈折がありました。

　その予想外の結論とは、ベシコビッチの研究によるもので、「どのように小さな面積をもつ図形の中でも、そこから針がはみ出すことなく針を１回転させることができる」という驚くべきものでした。

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　前述の高さ１の正三角形の面積は０．５７７３５０…でしたが、例えば、その１万分の１の微小な面積０．００００５７７３５０…しかもたないある図形の中で、そこからはみ出さずに針が１回転できるという結論です。

　その図形を正確に描写することは紙面の都合で割愛しますが、直観的には、ガラスの破片の集まりのようなギザギザ図形です＝図４。

　針の回転のさせ方を大ざっぱに表現すると、あなたの車の前後に他の車がピッタリと駐車されてしまった状態から、あなたの車を抜け出させるときに行う、“切り返し”の繰り返しです。この問題を思いついた発想も、それを解決した発想も日常生活の中にある平凡なものでしたが、この問題から新しい数学の分野が開けたのです。

「エレベータに乗って操作盤の前に人が立ってて、行き先ボタンが押しにくい時、欧米では普通にその操作盤の前に立ってる人が「何階ですか」と声をかけ、乗ってきた人が「＊階押してください」というコミュニケーションが普通にある。ところが日本では無理にでも自分で押す人が９割を超える」「だから、日本のエレベーターには操作盤が沢山付いている」

自分の事が自分で出来るようになると、コミュニケーションが少なくなって、コミュニティーが崩壊していくそうだ。

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自分の事が自分で出来るようになると、コミュニケーションが少なくなって、コミュニティーが崩壊していくそうだ。